sâmbătă, 5 octombrie 2013

Cum aflam un termen al sirului? Cum adunam un sir de numere care nu sunt consecutive?


Zilele acestea am "luptat"  iar cu sirurile, asa ca m-am gandit sa va ofer o mica continuare axata pe doua directii:

1.  Cum aflam termenul ”n” al sirului?

(Exemplu:  Avem sirul:   3, 7, 11, 15, 19, ...  Care este termenul  100?

2. Cum putem aduna un sir de numere care nu sunt consecutive?

(Exemplu:  3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + 51   =  ?)

Aceste exercitii sunt potrivite pentru clasa IV-a zona de performanta / concursuri scolare, dar va veti lovi de ele si la inceputul clasei a V-a as zice in zona mediu (eu numesc zona mediu materia facuta la clasa conform manualului) spre performanta (= cerinte specifice concursurilor scolare care depasesc materia predata la clasa).




1. Cum aflam termenul ”n” al sirului?





3, 7, 11, 15, 19, ...  Care este termenul  100?

Cheia acestui tip de exercitii este descoperirea relatiei dintre termeni si transformarea ei intr-o formula general valabila.





Adica:

  3,                  7,                    11,                     15,                             19,                       ...

T1 = 3       T2 = 3 + 4     T3 = 3 + 4+4      T4 = 3 + 4+4+4        T5 = 3 + 4+4+4+4


dupa ce am scris fiecare termen in functie de primul termen si de ”pas” (diferenta, constanta, dintre doi termeni ai sirului) rescriem astfel:

T1 = 3       T2 = 3 + 4     T3 = 3 + 4x2      T4 = 3 + 4x3        T5 = 3 + 4x4


Acum se observa ca un termen n al sirului va fi egal cu termenul 1 la care se adauga ”pasul” inmultit cu predecesorul sau (n-1), adica:

Tn = 3 + 4 x (n-1)


Daca am aflat formula general valabila pentru orice termen al acestui sir putem afla si termenul 100 fara probleme

T100 = 3 + 4 x (100-1)
T100 = 3 + 4 x 99

T100 = 399


O varianta a exercitiului de mai sus, dar care se rezolva cu aceeasi ”cheie” este si intrebarea:

Numarul 51 face parte din sir?

a)  Ne bazam pe relatia dintre termenii sirului

Tn = 3 + 4 x (n-1)

daca numarul 51 ar face parte din sir atunci el ar fi un Tn = 51,  (Atentie! ”n” nu este egal cu 51, doar Tn = 51, vezi mai sus  T100 = 399, la noi numarul 51 este similarul lui 399)

51 = 3 + 4 x (n-1)

51 - 3 = 4 x (n-1)

48 = 4 x (n-1)

(n-1) = 48 : 4, putem imparti fara rest si atunci numarul 51, face parte din sir

(iar el va fi termenul  T13 deoarece n-1 = 12    => n = 13)

verificare:

T13 = 3 + 4 x 12
T13 = 3 + 48
T13 = 51

b) Pentru usurarea rezolvarii putem scrie relatia dintre termeni, in acest al doilea caz, doar asa:

51 = 3 + 4 x Z  , daca gasim un z, numar natural, atunci raspunsul este pozitiv, daca nu, atunci numarul nu face parte din sir.

Rezolvare:
Z = (51-3) : 4
Z = 12, deci 51 face parte din sir



2. Cum putem aduna un sir de numere care nu sunt consecutive?


3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... +  51 =  ?

(Acesta este un exemplu pentru sirurile in care diferenta dintre termeni (”pasul”) este constanta.)


Si la acest exemplu ”cheia” este tot relatia dintre termeni.




Rescriem sirul (Atentie! e bine sa stim al catelea termen este ultimul pentru a-l scrie in functie de termenul 1 si ”pasul” 4, adica 51 = 3 + 4 x Z , 51= 3 + 4 x 12) astfel :

3 +  3+4  +  3+4x2  +  3+4x3  +  3+4x4  +  ...   +  3+4x12 =

grupam termenii convenabil cei cu 3 intr-o parte, iar cei cu 4 in cealalta parte:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3    +     4 + 4x2  + 4x3 + 4 x 4 + ... + 4x12 =

stim ca sunt 13 termeni in sir deci, 3 + 3 + ... +3 = 3x13

3x13     +     4 + 4x2  + 4x3 + ... 4x12 =

dam factor comun pe 4 (”pasul”)

39 +      4 x (1 + 2 + 3 + ... + 12) =

(pentru a afla detalii despre cum se face suma sirului din paranteza, cititi  Cum adunam un sir de numere naturale consecutive in clasa a IV-a? 

39 + 4 x [(12+1)(12:2)) =
= 39 + 4 x (13x6) =
= 39 + 4 x 78 =
= 39 + 312
= 351

Dupa cum observati, rezolvarile nu sunt foarte grele daca avem un exemplu, iar pentru performanta trebuie sa cautam culegeri in care avem explicatii teoretice, exercitii rezolvate si exercitii cu grad de dificultate diferit.
Eu sunt incantata de:
aici poti comanda


Pentru a afla cum sa comanzi on-line vezi informatiile de la sfarsitul articolului 
acesta.Pentru fiecare a existat o prima data cand nu prea stia cum ...


pentru ca are foarte multe tipuri de exercitii si probleme cu grad de dificultate sporit, dar cu toate explicatiile necesare unei rezolvari corecte.

Dar imi place si
aici poti comanda
pentru ca am gasit o noua metoda de rezolvare a sirurilor de numere naturale consecutive, diferita de cea prezentata in articolul anterior referitor la siruri.

Daca aveti nevoie de lucruri si mai complicate, cum ar fi termenul "n" (Tn) dintr-un sir in care diferenta dintre termeni nu este o constanta, atunci incercati aici.


Actualizare 10.12.2013

30 de comentarii:

  1. Imi place site-ul , puteti insasa imi explicati cum adunam un sir de fractii ?

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Dati-mi un exemplu concret altfel sunt prea multe de spus la acest subiect. Poate va este util acest filmulet (http://educatie.inmures.ro/lectii-de-matematica/calculul-unor-sume-de-fractii.html).

      Ștergere
    2. Pai daca ai gen 2pe 3 faci la fel cu cele de sus si cu cele de jos ( totul separat) si apo aduni si vezi ce iti iese , sper ca te-am ajutat!

      Ștergere
  2. Va rog 9+99+999+...+999.999 de 1998 de ori 9

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Ideea mea este urmatoarea:
      factor comun 9 => 9(1+11+111+1111+....+1111...1111_de 1998 ori)
      1+11+111+...+1111 - pentru aceasta suma exista o formula calculata prin transformarea sirului intr-unul in baza 10 (vezi aici detalii http://www.math10.com/forum/viewtopic.php?f=42&t=498#p1097)

      deci 1+11+111+1111+111_(de 1998 ori)=1/81(10^1999-9x1998-10),

      deci revenind la suma initiala,
      9x1/81(10^1999-9x1998-10)=
      =1/9(10^1999-9x1998-10)

      Sper ca am fost de ajutor desi cam depaseste "zona mea de confort" :)

      Ștergere
    2. Din pacate , te contarzic Loredana ! Nu e bine ce spui tu aici , trebuie sa faci asa:
      mai intai aduni 9+99+999 + 999x999 veti cat iti da si apoi faci a(9+99+999)+b+c(999x999)
      si e clar ca trebuie sa iti dea 1998x9 , sper ca te-am ajutat!

      Ștergere
    3. 10-1+100-1+1000-1++++++++=
      =111111111111.......1de 1999de ori -1998=
      =..... E mai simplu☺

      Ștergere
    4. S=9+99+999+......+99..99(de 1998 cifre de 9)
      adunam 1999 iar la sfarsit scadem 1989
      S=9+99+999+.......+99..99(1998 cifre de 9)+1999
      Luati din 1999 cate unitate si adunati pe rand cu restul numerelor
      Avand 1989 de termeni din 1999 nu va mai ramana decat o unitate
      S=1+(9+1)+(99+1)+...+(9999..(1998 cifre de 9)+1)+1
      S=1+10+100+...+10000(de 1998 cifre de 0)
      S=111111...111(1 se repeta de 1999 de ori)
      Acum vom scadea 1999
      S=111...1111-1999=1111...11109112
      Cifra 1 se repeta de 1999-6=1993 cifre de 1

      Ștergere
  3. Acest comentariu a fost eliminat de autor.

    RăspundețiȘtergere
  4. o cega si un nisetru pot trai,la un loc,cu 33 de ani mai putin decat o zecime dintr-un mileniu.cat pot trai 3 cegi si 5 nisetri la un loc,stiind ca o cega si 9 nisetri pot trai,la un loc,cu 73 de ani mai putin decat o jumatate de mileniu?

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Trebuie se scrii asa: 1000:10=100(ani poate trai o cega)
      100-33-9+3=59(ani poate trai un nisetru)
      Sper ca te-am ajutat!

      Ștergere
    2. o zecime dintr-un mileniu inseamna:
      1000 : 10 = 100 ani

      daca stim ca o cega (notam cu c) si un nisetru (notam cu n) pot trai la un loc, cu 33 de ani mai putin decat o zecime dintr-un mileniu, atunci avem:

      c + n = 100 - 33 = 67 (ani traiesc impreuna o cega si un nisteru)

      dar mai stim ca o cega si 9 nisetri pot trai la un loc, cu 73 de ani mai putin decat o jumatate de mileniu, adica:

      1000 : 2 = 500 ani (jumatate de mileniu)
      c + 9n = 500 - 73 = 427 ani (traiesc o cega si noua nisetri)

      din relatia: c + n = 67, rezulta ca c = 67 - n
      inlocuind in relatia: c + 9n = 427, avem :

      67 - n + 9n = 427
      8n = 427 - 67 = 360
      n = 360 : 8
      n = 45 ani traieste un nisetru

      inlocuind n in relatia: c = 67 - n, avem:

      c = 67 - 45
      c = 22 ani traieste o cega

      Stiind acum cat traieste o cega (22 de ani) si cat traieste un nisetru (45 de ani), putem afla cu usurinta cat pot trai 3 cegi si 5 nisetri la un loc:

      3c + 5n = 3x22 + 5x45 = 66 + 225 = 291 ani


      Ștergere
  5. Sa se determine al zecelea termen al sirului 1,7,13,19

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Pasul (diferenta dintre 2 termeni consecutivi) este de 6, deci se poate gasi relativ usor, fie calculand din aproape in aproape, fie 1+6x9=55.

      Ștergere
  6. 1+1x2+1x2x3+1x2x3x4+........+1x2x3x4......x50=
    Care este ultima cifra a adunarii.(cifra unitatilor)

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Pana la 1+1x2+1x2x3+1x2x3x4, se calculeaza 1+2+6+24=33, deci 3 e ultima cifra, motivul este acela ca de la 1x2x3x4x5 mai departe ultima cifra este 0 deoarece in fiecare grup apare 5*2=10, iar orice numar inmultit cu 10 are ultima cifra 0.

      Ștergere
  7. Aflati cel mai mare numar de 3 cifre care este egal cu suma 1+2+3+...+n

    Va multumesc.

    RăspundețiȘtergere
  8. Aflati care este al 2015 numar din sirului a,b,c,d,e,f,a,b,c,d,e,f

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Observam ca numerele se repata din 6 in 6
      2015:6=335 rest 5
      2015=6*335+5
      Al 2015 numar este e

      Ștergere
  9. Cate numere sunt in sirul: 7,10,13...37?

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. T1=7
      T2=7+3
      T3=7+3+3=7+3*2
      ........
      Tn=7+3*(n-1)
      37-7=3*(n-1)
      n-1=30:3
      n=11
      Sunt 11 termeni

      Ștergere
  10. 1 + 1/2 +1/3 +1/4+ ... 1/100 = ?

    RăspundețiȘtergere
  11. Ma scuzati dar am de aflat al 13lea nr din sirul de numere 1,1 2 3 5 8 13 21

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. T1=1
      T2=T1=1
      T3=T2+T1=1+1=2
      T4=T3+T2=2+1=3
      T5=T4+T3=3+2=5
      T6=T5+T4=5+3=8
      T7=T6+T5=8+5=13
      T8=T7+T6=8+13=21
      T9=T8+T7=21+13=34
      T10=T9+T8=34+21=55
      T11=T10+T9=89
      T12=T11+T10=144
      T13=T12+T11=233

      Ștergere
  12. fie sirul de numere 1 7 2 14 3 21 aflati term de pe locul 2014

    RăspundețiȘtergere
  13. Buna. Pentru sirul 3,4,6,9,13...trebuie sa aflu al 2013.lea numar. Nu reusrsc sa aflu formula termenului general

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. t1 = 3
      t2 = 3+1 = 4
      t3 = 4+2 = 6 sau t3=3+ 1+2
      t4 = 6+3 = 9 sau t4=3+ 1+2+3
      t5 = 9+4 = 13 sau t5=3+ 1+2+3+4
      rezulta
      tn=3+ 1+2+3+ ... + (n-1)

      In continuare se afla cu suma lui Gauss - 1+2+3+....
      Numai bine!

      Ștergere

Pe acest blog vor fi afisate doar comentariile care folosesc un limbaj adecvat si au legatura cu subiectele prezentate.

Vrei sa imi citesti postarile direct in casuta ta postala?